O Que São Numeros Primos? - 2024, CLT Livre

O Que São Numeros Primos?

Que são números primos?

Números primos são números que têm apenas 2 fatores: 1 e ele mesmo. Por exemplo, os 5 primeiros números primos são 2, 3, 5, 7 e 11. Em contrapartida, números com mais de 2 fatores são chamados de números compostos.

Como saber se é um número primo?

Um número natural é primo se ele possui apenas dois divisores positivos e distintos. Ou seja, um número natural é primo se ele é maior que 1 e é divisível apenas por si próprio e por 1. Um exemplo: o número 2. Ele só é divisível por ele mesmo, e por 1. O mesmo vale para 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

  1. Como se pôde observar, com exceção do 2, todos os demais números primos são ímpares.
  2. Observe também que essa definição exclui o 1 como primo.
  3. O matemático grego Euclides provou que os números primos eram infinitos.
  4. Problemas envolvendo números primos mantiveram ocupados quase todos os matemáticos desde a antiguidade: como saber se um número é primo ou não, ou prever a sua existência em um conjunto de números, ou ainda encontrar uma fórmula para defini-los? Muitas dessas questões continuam sem resposta, mas Eratóstenes criou um método para descobrir os primos em uma sequência de números naturais de 1 até n.

Eratóstenes viveu em Alexandria algumas décadas depois de Euclides. Foi diretor da famosa Biblioteca de Alexandria e do Museu, enquanto acumulava uma série de outras atividades. Algoritmo para definir números primos O algoritmo se baseia numa “peneira”: ele vai testando se um número é primo e, se for, elimina todos os seus múltiplos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

O menor número primo é o 2, mas qualquer outro que seja divisível por 2 não é primo, certo? Então, mantém-se o 2 e excluem-se todos os seus múltiplos,

2 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49

o que elimina metade da lista! O próximo número primo é 3. Deve-se mantê-lo e excluir os múltiplos de 3, uma vez que um número múltiplo de 3 não pode ser primo:

2 3 5 7
11 13 17 19
23 25 29
31 35 37
41 43 47 49

E o 4? Quando se eliminam os múltiplos de 2, também se eliminaram os múltiplos de 4, 6, 8, e todos os números pares! É por esse motivo que o crivo é tão eficiente: ao excluir os múltiplos de um número primo, não há necessidade de verificar aqueles múltiplos.

2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47

Todos os números que sobraram na lista são primos! Múltiplos de 11 Você poderia se perguntar se o correto não seria continuar com a checagem até chegar ao fim da lista. Uma análise mostra que esse trabalho não é necessário. Veja que os próximos na verificação e exclusão da sequência seriam os múltiplos de 11, mas todos já foram excluídos previamente porque eram múltiplos de outro primo menor! Observe o aspecto das últimas exclusões: 21 = 7×3 – 27 = 3 2 x3 – 25 = 5×5 – 35 = 7×5 – 49 = 7×7 Qualquer outro número não-primo nessa sequência deve ser da forma 11k, em que k é primo menor que 11, mas esses já foram excluídos! Então, os que sobraram são mesmo primos.

Na verdade, basta calcular os números primos anteriores à raiz quadrada de n (você sabe dizer por quê?). Divisão por tentativa Para determinar se um certo número inteiro pequeno é primo, a divisão por tentativa funciona bem. Basta dividi-lo por todos os primos menores ou iguais à sua raiz quadrada. Se você estiver procurando por um primo gigantesco, com mais de 10.000 dígitos decimais, nunca poderia dividi-lo por todos os primos menores que a sua raiz quadrada.

Ainda assim, mesmo nesses casos a divisão por tentativa é utilizada, somente para fazer um rastreamento inicial. Fazem-se divisões por alguns milhões de primos pequenos e depois aplica-se um teste de primalidade. No caso de n ter 25 dígitos ou mais, a divisão por tentativa usando primos menores que sua raiz quadrada é impraticável.

Se n tiver 200 dígitos, então a divisão por tentativa é impossível. A mais importante utilização atual dos números primos é o reforço nos sistemas de segurança em criptografia, entre outras aplicações. Pode-se dizer que um sistema criptografado é tão mais seguro quanto maiores forem os primos utilizados na sua estrutura.

A questão então passa por determinar se um número é primo ou não. Mas por que o nome “primo”? A palavra primo refere-se a ideia de primeiro, e sua origem está na concepção numérica da escola pitagórica, no século 5 a.C. Nessa época, os matemáticos gregos dividiam os números inteiros naturais em três classes: a monad (unidade, 1); os protói arithmói (números primos) ou asynthetói aritmói (números não compostos): aqueles que não podem ser gerados pelo produto de outros números além da unidade.2, 3, 5, 7, 11, etc.; os deuterói arithmói (números compostos): aqueles que podem ser gerados pelo produto de outros números.4 (=2×2), 6 (=2×3), 8, 10, 12, 14, etc.

Quais são os números primos de 1 a 100?

Listando os primos existentes de 0 a 100, temos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Mas, como classificamos números com vários algarismos? Para isso, precisamos verificar se estes possuem mais que 2 divisores.

Quais são os números primos exemplos?

O que é número primo? Um número é classificado como primo se ele é maior do que um e é divisível apenas por um e por ele mesmo. Apenas números naturais são classificados como primos. Antes de saber mais sobre o número primo, é importante relembrar algumas regras de divisibilidade, que ajudam na identificação de quais números não são primos.

  • Divisibilidade por 3 : um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos der um número divisível por 3.
  • Divisibilidade por 4 : um número é divisível por 4 se ele for divisível duas vezes por 2 ou, então, se seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4.
  • Divisibilidade por 5 : todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por cinco.
  • Divisibilidade por 6: se um número for par e também divisível por 3, será divisível por 6.
  • Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 se a diferença entre o dobro do último algarismo e o restante do número resultar em um número múltiplo de 7.

Essas são as principais regras de divisibilidade. Para encontrar cada número primo menor do que 100, utilizamos o ” Crivo de Eratóstenes “. Na tabela a seguir, iremos cancelar os números que não são primos seguindo esta ordem:

  • O número 1 estará fora, pois, pela condição inicial, os números primos são maiores que um (será destacado de preto ); Não pare agora. Tem mais depois da publicidade 😉
  • Os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8 estarão fora porque são divisíveis por dois (serão destacados vermelho );
  • Os números terminados em 5 estarão fora porque são divisíveis por 5 (serão destacados de azul ). Os números terminados em zero já foram cortados;
  • Os números cuja soma dos algarismos for 3 estarão fora por serem divisíveis por três (serão destacados de laranja );
  • Os números que são divisíveis por 7 serão retirados também (serão destacados de verde )

Os números destacados em amarelo são aqueles que só são divisíveis por 1 e por eles mesmos, isto é, não obedecem a nenhum dos critérios de divisibilidade que comentamos acima. Portanto, pelo “Crivo de Eratóstenes”, os números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97 são os únicos números primos menores que 100.

  1. Por Amanda Gonçalves
  2. Graduada em Matemática

: O que é número primo?

Porque o número 43 é primo?

O número 43 é primo ou só é um número impar? Ele só é divisível por 1 e por si próprio, então ele é um número primo.

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Qual é o número primo de 12?

Crivo de Eratóstenes – Encontrar números primos nem sempre é uma tarefa fácil. O método mais usado para essa tarefa é o crivo de Eratóstenes, o qual permite encontrar todos os números primos entre dois números. Vamos, por exemplo, encontrar os números primos de 1 até 100 utilizando esse método. Listaremos todos os números de 1 até 100 de forma organizada. Veja:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Sabemos que 1 possui só 1 divisor, então ele não é primo. Sabemos também que 2 possui 2 divisores, 1 e ele mesmo, então 2 é primo. Agora os demais números pares são todos divisíveis por 2, então eles não são primos. Assim, vamos marcar todos os outros números pares e o número 1 na lista. Dos números que restaram em preto, sabemos que 3 possui só dois divisores, logo ele é primo. Porém, os números múltiplos de 3, como o 6,9,12,15, não são primos. Marcaremos agora todos os números múltiplos de 3 que restaram na lista. Sabemos que o número 5 é primo, mas os múltiplos de 5 (que são os números terminados em 5 ou 0) não são, pois 5 é divisor desses números. Então vamos marcar esses números também. O número 7 é primo. Usando o mesmo raciocínio, marcaremos os múltiplos de 7 que ainda não foram assinalados. Agora sabendo que 11 é primo, vamos procurar os números múltiplos de 11, como não há nenhum número múltiplo de 11, sabemos que terminamos o crivo. Os números restantes são primos, então os primos de 1 até 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

Qual é o único número natural que é primo?

Exercícios resolvidos sobre números primos – Questão 1 – A decomposição em fatores primos do número 720 é igual a? A) 2³.3².5 B)2².3³,5 C) 2,3.5 D)2²,3.5³ Resolução Alternativa A. Realizando a fatoração, temos que: Questão 2 – Marque a afirmativa correta: A) Todo número ímpar é primo. B) Todo número par não é primo. C) 2 é o único número par que é primo. D) 9 é o único número ímpar que não é primo. Resolução Alternativa C. a) Falsa, pois existem números primos e números não primos ímpares.

Qual é o único número par que também é primo?

Percebe-se que os números primos, com exceção do número 2, são também ímpares, pois todos os números pares são múltiplos de 2 e, portanto, são compostos. O número 2 é o único número primo que é par.

Qual é o maior número primo do mundo?

Voltando agora à questão inicial, o maior número primo conhecido é 232.582.657-1, que tem 9.808.358 dígitos e foi descoberto em 4/9/2006 pelos Drs. Curtis Cooper, Steven Boone e a sua equipa. Este número primo tem 650.000 dígitos a mais do que o maior primo encontrado por eles mesmos em Dezembro de 2005.

Por que o número 1 não é primo?

Os números primos O número 2 é o único número primo que é par. Mas e o número 1 é primo ou composto? Como vimos, o número 1 é divisível apenas por ele mesmo, ou seja, possui apenas 1 divisor, pois o número 1 é igual a ele mesmo. Em outras palavras, o número 1 não é composto e nem considerado um número primo.

Como é possível verificar se um número é primo ou composto?

O que são números primos e compostos? Rafael C. Asth Professor de Matemática e Física Os números primos são aqueles que apresentam apenas dois divisores: um e o próprio número. Eles fazem parte do conjunto dos números naturais.

  • Por exemplo, 2 é um número primo, pois só é divisível por um e ele mesmo.
  • Quando um número apresenta mais de dois divisores, eles são chamados de números compostos e podem ser escritos como um produto de números primos.
  • O número 6, por exemplo, não é um número primo, é um número composto, já que tem mais de dois divisores (1, 2 e 3), escrito como produto de dois números primos 2 x 3 = 6.
  • Algumas considerações sobre os números primos:
  • O número 1 não é um número primo, pois só é divisível por ele mesmo;
  • O número 2 é o menor número primo e também o único que é par;
  • O número 5 é o único número primo terminado em 5;
  • Os demais números primos são ímpares e terminam com os algarismos 1, 3, 7 e 9.

Porque o número zero não é um número primo?

Ouça este artigo: Os números primos fascinam matemáticos há mais de 2000 anos. Os números primos são o santo graal da matemática pois, mesmo tendo uma definição tão simples muitos problemas que os envolvem ainda não estão solucionados. Vamos definir o que é um número primo: Os números primos são aqueles em que possuem apenas dois divisores: 1 e o próprio número.

  1. Agora, vamos identificar alguns números primos segundo a definição acima a partir do conjunto dos naturais N=,
  2. Os números primos menores que 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Os números 0, 1, 4, 6, 8, 10 e 12 não são primos pois possuem mais de um divisor, por exemplo, o 6 pode ser dividido por 1, 2, 3 e o próprio 6.

O 8 é dividido por 1, 2, 4 e 8. O zero não pode ser primo, pois ele pode ser dividido por qualquer outro número que, ainda assim seria zero, o que nos leva uma infinidade de divisores. Já o 1 também não pode ser primo pois ele possui um único divisor, ele mesmo.

  • O número 2 é o menor primo e o único par.
  • A complexidade começa aqui: Como saber se um número é primo ou não? Para números pequenos é fácil responder a esta pergunta, mas quando pensamos na infinidade de números naturais que existem, escolhermos um e ainda identificar se ele é primo ou não, é um desafio e tanto! Infelizmente, não existe uma fórmula que determine se um número é, ou não, primo, mas há diversas ferramentas para nos ajudar nesta tarefa.

O método mais conhecido é o Crivo (ou Algoritmo da Divisão) de Eratóstenes. Este método consiste basicamente em testar se o número é, ou não, divisível por algum número natural menor do que ele próprio. Vamos agora mostrar como o Crivo de Eratóstenes funciona para determinar todos os números primos de 1 a 100:

  1. Escreva todos os números de 1 a 100 numa tabela.
  2. Elimine todos os múltiplos de 2, exceto o próprio 2 que já sabemos que é primo.
  3. Depois, faça isto com os múltiplos de 3, exceto o 3 que também é primo.
  4. O próximo da lista não riscado seria o 5, risque os múltiplos também.

Seguindo este método recursivamente, como vemos na tabela abaixo, os números verdes são os primos, os outros são números que são múltiplos de algum primo:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Por que os números primos têm esse nome?

Cálculo de números primos: colocações iniciais

POR QUE O NOME PRIMO PARA OS NÚMEROS PRIMOS ?

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Muitas pessoas acham que a palavra primo – para denotar os números primos – está associada a alguma analogia de parentesco. Como veremos, isso é totalmente falso. Esse “primo” refere-se à idéia de primeiro, e tem sua origem numa velha concepção numérica dos pitagóricos.

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C O N C E P C A O P I T A G O R I C A de N Ú M E R O P R I M O A noção de número primo foi, muito provavelmente, introduzida por Pythagoras, c.530 AC, sendo que a mesma desempenhou um papel central tanto na matemática como no misticismo pitagórico. A escola pitagórica dava grande importância ao número um, que era chamada de unidade ( em grego: monad ). Os demais números inteiros naturais – o 2, 3, 4, etc – tinham um carácter subalterno, sendo vistos como meras multiplicidades geradas pela unidade e por isso recebiam a denominação número ( em grego: arithmós ). Era como se tivéssemos uma família, onde a “mãe” era a monad ( unidade ) e os “filhos” os arithmói ( os números ):

a monad: a unidade ou um os arithmói ( os números ) dois, três, quatro, etc, ou seja: todas as coleções de unidades

Entre os pitagóricos, a preocupação com a geração dos números não parava aí. Já o próprio Pythagoras teria atinado que existem dois tipos de arithmói:

os protoi arithmói ( números primários ou primos ) que são aqueles que não podem ser gerados – via multiplicação – por outros arithmói, como é o caso de 2, 3, 5, 7, 11,, os deuterói arithmói ( números secundários ) que são os que podem ser gerados por outros arithmói, como é o caso de 4 = 2.2, 6 = 2.3, 8 = 2.4, 9 = 3.3, etc

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Assim que os primeiros matemáticos gregos dividiam o que hoje chamamos de números inteiros naturais em três classes:

a monad ( ou unidade, ou 1 ) os protói arithmói ( números primos ) ou asynthetói arithmói ( números incompostos ): 2, 3, 5, 7, 11, etc os deuterói arithmói ( números secundários ) ou synthetói arithmói ( números compostos ): 4, 6, 8, 9, 10, etc

OBSERVACAO: Ainda por influência dos pitagóricos, por muitos séculos houve polêmica acerca da primalidade do número dois. Os primeiros pitagóricos chamavam-lhe dyad, atribuiam-lhe carácter especial – embora bem menos importante do que o da monad – e alguns deles não o incluiam entre os arithmói. Consequente, muitos pitagóricos não consideravam o dois como primo. É só pela época de Aristóteles c.350 AC que passou a ser comum considerar o dois tanto como número como primo, sendo que esse costume foi consagrado pelo livro Elementos de Euclides c.300 AC. OBSERVACAO: Entre os gregos, principalmente entre gregos pitagóricos de várias gerações depois de Pythagoras, surgiram outras denominações para os números primos, como: retilíneos, lineares e eutimétricos. Contudo, elas tiveram uso muito restrito e cairam no desuso.

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Q U E S T O E S D O C U M E N T A I S G R E G A S Acima, dissemos que “a noção de número primo foi, muito provavelmente, introduzida por Pythagoras”. Com efeito, é impossível ter completa segurança nessa atribuição, pois Pythagoras não deixou nenhum escrito e os documentos mais antigos que temos falando de suas idéias resumem-se a pequenos fragmentos de textos escritos várias gerações depois dele. Contudo, esses fragmentos, apesar de conterem muito escassas informações, são unânimes em afirmar que Pythagoras iniciou o estudo dos números primos. O mais antigo livro de matemática que chegou completo aos nossos tempos e que desenvolve sistematicamente o estudo dos números primos é o Elementos de Euclides c.300 AC. Como é sabido, Euclides seguiu muito de perto a orientação matemática dos pitagóricos. Assim, não é surpreendente que, no capítulo em que trata da Teoria dos Números, ele defina número primo de um modo absolutamente compatível com as idéias pitagóricas expostas acima. Com efeito ( Elementos, VII, def.11, na versão de Heath ):

protós arithmós estin monadi mone metroymenos ou seja: número primo é todo aquele que só pode ser medido através da unidade

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S U R G I M E N T O da D E N O M I N A C A O L A T I N A : primus A Arithmetiké do grego Nikomachos, c.100 dC, é o mais antigo livro de Teoria dos Números, posterior ao Elementos de Euclides, que chegou até nossos dias. Trata-se de uma visão de filósofo e letrado do Elementos, sendo que não há uma única demonstração entre os poucos tópicos abordados. Apesar disso, teve grande repercussão na época e foi a base do primeiro livro em latim que se escreveu sobre Teoria dos Números: o De Institutione Arithmetica, do romano Boethius c.500 dC. No livro de Boethius é onde aparece, pela primeira vez, a denominação numerus primus como tradução da tradicional protós arithmós preservada de Euclides por Nikomachos. Ademais, Boethius, sempre seguindo Nikomachos, usa a velha classificação pitagórica dos números naturais: primos ou incompostos versus secundários ou compostos. O Livro de Boethius foi, durante cerca de seiscentos anos, a única fonte de estudos de Teoria dos Números disponível na Idade Média. Em torno de 1 200 dC iniciou o renascimento científico e matemático do Mundo Cristão, com o afluxo das obras árabes e a tradução das obras gregas preservadas no Mundo Islamita. É dessa época um dos mais influentes livros de todos os tempos: o Liber Abacci, de Fibonacci. Esse grande matemático, que havia estudado entre os muçulmanos do Norte da África, diz que acha melhor dizer primus em vez do incomposto preferido pelos árabes e outras pessoas. Ficou assim, definitivamente, consagrada a denominação número primo na Europa Cristã.

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B I B L I O G R A F I A

M. TIMPANARO-CARDINI: Pitagorici. Testimonanze e frammenti, 3 vols. Florence, 1 958.H. DIELS, W. KRANZ: Die Fragmente der vorsokratiker, 7a ed.1954. sec.14 para Pythagoras e secs.37-58 para os primeiros díscipulos PAULY WYSSOVA: Real Encyclopaedie der Classische Altertumswissenschaft. Stuttgart, 1963. Vol XXIV, pp 171-300 K. SYLVAN GUTHRIE: The Pythagorean Sourcebook and Library. An Anthology of Ancient Writings Which Relate to Pythagoras and Pythagorean Philosophy. Phanes Press, 2 000.B. VAN DER WAERDEN: Die Arithmetik der Pythagoreer. Math. Ann., 120, (1947-49), pp 127-153, 676-700.

versão: 24-set-2 000 localize esta página em: http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2.html © 2 001 por J.F. Porto da Silveira ( [email protected] ) permitida a reprodução, desde que com fins acadêmicos e não comerciais A figura no topo desta pagina e’ o “Crivo de Erathostenes”, de Dusan Petricic : Cálculo de números primos: colocações iniciais

Qual é o número mais alto do mundo?

Qual é o maior número conhecido? | Oráculo Continua após publicidade (Nikada/iStock) Continua após publicidade Qual o maior número conhecido? @joao_paranaue, via Instagram São infinitos os candidatos. Começo com o M77232917, maior número primo já encontrado. Ele é escrito como 2 77232917 -1 (mais de 23 milhões de dígitos).

  • O pi (3,14), por sua vez, tem casas decimais infinitas.
  • O americano Ed Karrels, aficionado pelo número, já calculou 10 quatrilhões delas.
  • Continua após a publicidade Outro número imenso com nome próprio é o googolplex.
  • Um googol é 10 100, que já é maior do que o número estimado de partículas no Universo (10 89 ).

O googolplex é 10 googol, E tem ainda o googolplexian: 10 googolplex, Nem adianta eu contar mais que você não vai processar Fontes: Maurício Donizetti Pieterzack, da UFG; Flávio Ulhoa Coelho, da USP; Guinness; Frank Heile, doutor em física pela Stanford University; karrels.org; livros, de Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon e, de KG Johansson.

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Qual é o único número que não é primo é nem composto?

Como vimos, o número 1 é divisível apenas por ele mesmo, ou seja, possui apenas 1 divisor, pois o número 1 é igual a ele mesmo. Em outras palavras, o número 1 não é composto e nem considerado um número primo. Porque é importante estudar os números primos?

Qual é o divisor de 12?

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12, logo 1, 2, 3, 4, 6, 12 são divisores de 12.

Qual é o divisor de 18?

O conjunto dos divisores de 18 é D(18)=. Problema 2: De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n?

Porque o número 72 é primo?

Um número natural é primo se ele é maior do que 1 e é divisível apenas por si próprio e por 1.

Qual e o número primo ímpar?

Da definição, decorre a seguinte seqüência de números primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37) e, como podemos observar, com exceção do 2, todos os demais números primos são ímpares.

Qual e o divisor de 13?

Matemática Essencial

  • Ensino Fundamental
  • Exercícios resolvidos de mmc, mdc e divisores
  • Cintia M.Bortoletto Ulysses Sodré

Problema 1: Um conjunto possui \(18\) elementos. De quantos modos podemos decompor este conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos? Resposta: As possibilidades estão apresentadas na sequência:

  1. \(1\) grupo com \(18\) elementos
  2. \(2\) grupos com \(9\) elementos em cada grupo
  3. \(3\) grupos com \(6\) elementos em cada grupo
  4. \(6\) grupos com \(3\) elementos em cada grupo
  5. \(9\) grupos com \(2\) elementos em cada grupo
  6. \(18\) grupos com \(1\) elemento em cada grupo
  1. O conjunto dos divisores de \(18\) é \(D(18)=\ \).
  2. Problema 2: De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural \(n\)?
  3. Resposta: O conjunto dos números naturais é \(N=\ \). Se \(n\) é um número para o qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de \(n\) por cada elemento de \(N\) é:
  4. \
  5. Problema 3: Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0?
  6. Resposta: O conjunto de múltiplos de \(0\) possui apenas um elemento, denotado por \(M(0)=\ \), pois
  7. \

Problema 4: Maria possui \(3\) tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no total? Resposta: No total, Maria ganhou 6 presentes. Problema 5: Para obter os divisores de um número natural \(n\), basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número \(n\).

  1. \(D(13)=\ \)
  2. \(D(18)=\ \)
  3. \(D(25)=\ \)
  4. \(D(32)=\ \)
  5. \(D(60)=\ \)
  • Poucos números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado \(32\): \(1 32=32\), \(2 16=32\), \(4 8=32\), \(8 4=32\), \(16 2=32\), \(32 1=32\).
  • Problema 6: Qual é o número natural que divide todos os números naturais?
  • Resposta: O número 1, pois dividindo um número natural \(n\) por 1 obtemos o próprio \(n\). Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 aluno, etc
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Problema 7: João queria distribuir 20 bolinhas entre ele e seus 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino? Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobram 18 bolinhas para os outros 3 meninos.

  1. \(5 (\quad) = 20\)
  2. \((\quad) 3 = 18\)
  3. \(4 (\quad) = 10\)
  4. \((\quad) ÷ 2 = 8\)
  5. \(3\div(\quad) = 4\)
  6. \((\quad) ÷ 3 = 4\)

Resposta: Não existe número natural que multiplicado por 4 produza 10 e não existe número natural que divide o número 3 e tem por resultado o número 4. Problema 9: O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta. Resposta: Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.

  1. 1 ovo = \(\$6,00\)
  2. 2 ovos = \(\$ 11,00\)
  3. 3 ovos = \(\$ 15,00\)
  4. 4 ovos = \(\$ 18,00\)

Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.

  1. Quanto custa comprar 11 ovos?
  2. Quanto custa comprar 177 ovos?
  3. Sem promoção, quanto custaria a mais pela compra dos 177 ovos?
  1. Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 44 por 11 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim ele usou a decomposição: 11=4+4+3 e obteve
  2. \
  3. Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim: \(177=4 44+1\) e
  4. \
  5. Problema 11: Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos:

Resposta: 37 e 11 são primos porque seus únicos divisores são o número 1 e eles mesmos.49 não é primo porque é múltiplo de 7.12 não é primo porque é múltiplo dos números: 2,3,4,6.

  • Problema 12: Qual é o menor número primo com dois algarismos?
  • Resposta: O número 11.
  • Problema 13: Qual é o menor número primo com dois algarismos diferentes?
  • Resposta: O número 13.
  • Problema 14: Qual é o menor número primo com três algarismos diferentes?
  • Resposta: O número 103.
  • Problema 15: Tente obter justificativas para garantir que valem as igualdades com potências e radicais.
  1. \(\sqrt =3\)
  2. \(2^3=8\)
  3. \(\sqrt =2\)
  4. \(\sqrt =4\)
  5. \(5^2=25\)

Problema 16: Obter o valor do número natural \(b\), tal que \(64=b^3\)? Resposta: \(\sqrt =4\), pois \(64=b^3\). Esta é uma propriedade de potenciação. A base é \(b\) e o expoente é \(3\). O número que elevado ao cubo resulta em \(64\) é o número \(b=4\).

  1. Problema 17: Exibir todos os números primos entre 10 e 20?
  2. Resposta: 11, 13, 17 e 19.
  3. Problema 18: Escrever três números distintos cujos únicos fatores primos são os números 2 e 3.

Resposta: \(18,12,\cdots\) A resposta é muito variada. Alguns exemplos estão na justificativa abaixo. Para obter números que possuem apenas os números 2 e 3 como fatores, não precisamos escolher um número e fatorá-lo. O meio mais rápido de obter um número que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é criar o número multiplicando 2 e 3 quantas vezes desejarmos.

  • \ \hline & & \\ \hline & & \\ \hline \end \]
  • Resposta: 9 quadradinhos.
  • Problema 20: Usando o mesmo quadrado do exercício anterior, obter o valor de \(3^2\), que se lê: três ao quadrado,
  • Resposta: \(3^2=9\).
  • Problema 21: De quantos cubinhos de 1 cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3 cm de comprimento, 3 cm de largura e 3 cm de altura?
  1. Resposta: 27 cubinhos.
  2. Problema 22: Qual o valor de \(3^3\) (3 elevado ao cubo)?
  3. Resposta: \(3^3=27\).

: Matemática Essencial

Quais são os números naturais?

O que é Conjunto dos Números Naturais? – Brasil Escola O conjunto dos Números Naturais é um conjunto numérico formado por 0, 1, 2, 3, 4, 5, Dizemos que esse conjunto é infinito positivamente, pois não há números negativos, decimais ou fracionários. Esse conjunto é representado pelo símbolo,

  • Utilizamos a seguinte notação para representar o conjunto dos Números Naturais:
  • =
  • Podemos dizer que dentro do conjunto dos números naturais há subconjuntos, como:

Conjunto dos números naturais não nulos : * =

  • Conjunto dos números naturais pares: P =
  • Conjunto dos números naturais ímpares: I =

Podemos afirmar que os conjuntos dos números naturais não nulos, dos números pares e dos números ímpares estão contidos no conjunto dos números naturais, uma vez que todos os elementos de cada um desses subconjuntos pertencem a, O conjunto dos números naturais permite a aplicação de todas as operações matemáticas, apenas com algumas ressalvas em algumas operações:

  • Adição: todo número natural somado com outro número natural resulta também em algum número natural, isto é, seja a, b e c ?, a + b = c ?, Não pare agora. Tem mais depois da publicidade 😉
  • Subtração: um número natural subtraído de outro número natural resulta em um número natural, desde que o primeiro número seja maior que o segundo número, isto é, seja a, b e c ?, tal que a > b, então, a – b = c ?,
  • Multiplicação: o produto de dois números naturais é sempre um número natural, isto é, seja a, b e c ?, então, a, b = c ?,
  • Divisão: O quociente de dois números naturais será um número natural desde que o dividendo seja múltiplo do divisor, isto é, seja a, b e c ?, então a : b = c ? ; se e somente se a = b, n, sendo que n ?,
  • Potenciação: a potência de um número natural será sempre natural desde que o expoente seja também natural, isto é, seja a, b e c ?, então a b = c ? ; se e somente se b ?,
  • Radiciação: a raiz de um número natural será também natural desde que o radicando seja potência de algum número também natural.
  1. Por Amanda Gonçalves
  2. Graduada em Matemática

: O que é Conjunto dos Números Naturais? – Brasil Escola

Porque o número 4 não é um número primo?

Ouça este artigo: Os números primos fascinam matemáticos há mais de 2000 anos. Os números primos são o santo graal da matemática pois, mesmo tendo uma definição tão simples muitos problemas que os envolvem ainda não estão solucionados. Vamos definir o que é um número primo: Os números primos são aqueles em que possuem apenas dois divisores: 1 e o próprio número.

Agora, vamos identificar alguns números primos segundo a definição acima a partir do conjunto dos naturais N=, Os números primos menores que 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Os números 0, 1, 4, 6, 8, 10 e 12 não são primos pois possuem mais de um divisor, por exemplo, o 6 pode ser dividido por 1, 2, 3 e o próprio 6.

O 8 é dividido por 1, 2, 4 e 8. O zero não pode ser primo, pois ele pode ser dividido por qualquer outro número que, ainda assim seria zero, o que nos leva uma infinidade de divisores. Já o 1 também não pode ser primo pois ele possui um único divisor, ele mesmo.

  • O número 2 é o menor primo e o único par.
  • A complexidade começa aqui: Como saber se um número é primo ou não? Para números pequenos é fácil responder a esta pergunta, mas quando pensamos na infinidade de números naturais que existem, escolhermos um e ainda identificar se ele é primo ou não, é um desafio e tanto! Infelizmente, não existe uma fórmula que determine se um número é, ou não, primo, mas há diversas ferramentas para nos ajudar nesta tarefa.

O método mais conhecido é o Crivo (ou Algoritmo da Divisão) de Eratóstenes. Este método consiste basicamente em testar se o número é, ou não, divisível por algum número natural menor do que ele próprio. Vamos agora mostrar como o Crivo de Eratóstenes funciona para determinar todos os números primos de 1 a 100:

  1. Escreva todos os números de 1 a 100 numa tabela.
  2. Elimine todos os múltiplos de 2, exceto o próprio 2 que já sabemos que é primo.
  3. Depois, faça isto com os múltiplos de 3, exceto o 3 que também é primo.
  4. O próximo da lista não riscado seria o 5, risque os múltiplos também.

Seguindo este método recursivamente, como vemos na tabela abaixo, os números verdes são os primos, os outros são números que são múltiplos de algum primo:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Quais são os primeiros 16 números primos?

Listamos a seguir a os 199 primeiros números primos: 3, 5, 7, 32, 11, 13, 15, 17, 19, 21 23, 52, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 72, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99.

Qual é o divisor de 12?

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12, logo 1, 2, 3, 4, 6, 12 são divisores de 12.

Qual é o maior número primo do mundo?

Voltando agora à questão inicial, o maior número primo conhecido é 232.582.657-1, que tem 9.808.358 dígitos e foi descoberto em 4/9/2006 pelos Drs. Curtis Cooper, Steven Boone e a sua equipa. Este número primo tem 650.000 dígitos a mais do que o maior primo encontrado por eles mesmos em Dezembro de 2005.