Artigo Sobre Matrizes E Determinantes?
Neste artigo, vamos conhecer um pouco das Histórias e aplicações de Matrizes e Determinantes. Determinantede uma matriz quadrada é um número real que associamos a essa matriz segundo algumas regras. Matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações.
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Qual é o determinante da matriz?
Matrizes e determinantes Em uma matriz, os elementos estão dispostos em linhas e colunas. Para representar matrizes, utilizamos a disposição de uma tabela. Chamamos de matriz toda a tabela m x n ( lê-se “m por n”) em que números estão dispostos em linhas (m) e colunas (n). Cada elemento da matriz é indicado por a ii (i indica a posição do elemento referente à linha, e j, a posição em relação à coluna). Não pare agora. Tem mais depois da publicidade 😉
- Nessa matriz, temos que:
- a ij → linha (i) e coluna (j)
- a 1,1 → linha 1 e coluna 1 a 1,2 → linha 1 e coluna 2 a 1,3 → linha 1 e coluna 3 a 1,n → linha 1 e coluna n
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- a 2,1 → linha 2 e coluna 1 a 2,2 → linha 2 e coluna 2 a 2,3 → linha 2 e coluna 3 a 2,n → linha 2 e coluna n
- a m,1 → linha m e coluna 1 a m,2 → linha m e coluna 2 a m,3 → linha m e coluna 3 a m,n → linha m e coluna n
- Diagonais da Matriz
Toda matriz possui diagonal principal e diagonal secundária. A diagonal principal é formada pelos elementos em que i = j. A diagonal secundária é composta por elementos em que a soma de i com j sempre resulta em uma mesma solução. Veja como identificamos as diagonais de uma matriz:
- Diagonal Principal
- a 1,1 → linha 1 e coluna 1 a 2,2 → linha 2 e coluna 2 a 3,3 → linha 3 e coluna 3
- Diagonal Secundária
- a 1,3 → linha 1 + coluna 3 = 4 a 2,2 → linha 2 + coluna 2 = 4 a 3,1 → linha 3 + coluna 1 = 4
- Matrizes Especiais
- Existem algumas matrizes que são consideradas especiais pela forma como são organizadas. Entre essas matrizes, podemos destacar:
Matriz quadrada: é toda a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplos:
Observe que a matriz acima apresenta três linhas e três colunas. Como o número de linhas é igual ao de colunas, a matriz é quadrada.
Matriz identidade: todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os demais números são iguais a zero.
Matriz nula: é toda matriz em que seus elementos são iguais a zero.
Matriz linha: é formada por uma única linha.
Matriz coluna: é formada por uma única coluna.
Operações com matrizes As operações com matrizes são: adição, subtração e multiplicação.
Adição: Sejam A e B duas matrizes em que a sua soma resulta em uma matriz C. A + B = C
Cada um dos elementos da matriz C é o resultado da soma de um elemento de A com um elemento de B. Para efetuarmos a adição entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo: A + B = C A 2 x 3 + B 2 x 3 = C 2 x 3 Observe que as matrizes A e B possuem a mesma quantidade de linhas (m = 2) e a mesma quantidade de colunas (n = 3).
Subtração: A partir de duas matrizes A e B, definimos a sua diferença como C: A – B =C A + (- B) = C
A matriz diferença pode ser definida como sendo a soma de A com o oposto de B, ou seja, – B. Para realizarmos a subtração entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo e verifique como é feita a subtração entre duas matrizes:
Multiplicação: Dadas as matrizes A m x n e B n x p, para que seja possível realizar o seu produto, o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. Esse processo resulta em uma matriz C m x p. Observe o exemplo abaixo e veja como isso é feito:
- Descrição dos elementos da matriz:
- a 1, 1 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.
- a 1, 2 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.
- a 1, 3 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.
- a 2, 1 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.
- a 2, 2 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.
- a 2, 3 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.
- Determinante
- Calculamos o determinante de matrizes quadradas, isto é, aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Observe:
- Definimos como determinante da matriz A (det A) o número que é obtido pela operação dos elementos que compõem A.
- Caso A possua uma linha e uma coluna (A 1 X 1 ), então o determinante será representado pelo único elemento que compõe A. Exemplo: A = (10) det A = 10
- Se A possuir duas linhas e colunas (A 2 x 2 ), então o determinante (det A 2 x 2 ) será dado pela diferença entre os produtos da diagonal principal da matriz A pelo produto dos elementos que compõem a sua diagonal secundária. Veja abaixo como é feito o cálculo do determinante de uma matriz 2 por 2 ( A 2 X 2 ).
Para toda matriz quadrada 2 por 2, o cálculo do determinante é realizado da forma como está demonstrado acima. Caso a matriz quadrada seja do tipo M 3 X 3, M 4 X 4, M 5 X 5 e assim por diante, calculamos o seu determinante executando os passos descritos abaixo:
- Faça o espelhamento da primeira e da segunda coluna da matriz, ou seja, repita a primeira e a segunda coluna;
- Realize os produtos de cada diagonal principal e secundária separadamente;
- Efetue a soma entre os termos obtidos dos produtos de cada diagonal;
- Realize a diferença entre os resultados obtidos referente à soma dos termos das diagonais principais e das secundárias. No fim desses cálculos, teremos o determinante da matriz.
det M 3 X 3 = a 1,1, a 2,2, a 3,3 + a 1,2 + a 1,2, a 2,3, a 3,1 + a 1,3, a 2,1, a 3,2 – ( a 1,3, a 2,2, a 3,1 + a 1,1, a 2,3, a 3,2 + a 1,2, a 2,1, a 3,3 ). : Matrizes e determinantes
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Como calcular o determinante de matrizes de ordem 2?
O determinante de matrizes de ordem 2 será dado pela diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal pelo produtos dos elementos da diagonal secundária (LANG, 1971). Det = D p – D s 6.3. Ordem 3 (Regra de Sarrus)
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Qual é o determinante de uma matriz de ordem 1×1?
Determinante de matriz de ordem 2 # – O determinante das matrizes quadradas — aquelas que possuem os mesmo números de linhas e colunas — de ordem 2×2 é calculado pela multiplicação dos elementos da diagonal principal e secundária. Assim: Exemplo: Seja a matriz M : Então:
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O que é uma matriz e quais são suas dimensões e elementos?
Uma matriz é um arranjo de números em linhas e colunas. Conheça as matrizes e aprenda sobre suas dimensões e elementos. Uma matriz é um arranjo retangular de números em linhas e colunas. Por exemplo, a matriz tem duas linhas e três colunas. As dimensões de uma matriz nos dizem seu tamanho: o número de linhas e colunas, nessa ordem.
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